畢達哥拉斯的思考課：從通勤到愛情，用數學家的思維解決問題

01. 將世界看作問題的視線──旅行推銷員問題 

人們大多認為「數學」是為了解決問題的工具。但與其說「為了解決問題」，數學更像是「為了找出問題的工具」；數學家不是「解決問題的人」，而是「製造問題的人」，因此也有人戲稱數學家是「問題兒童」。

儘管如此，數學家並不是什麼問題都製造。人活在世上，不得不面對現實中難以解決的問題。為了解決這類問題，數學家將生活遇到的問題轉換成數學，再將變換後的數學問題套回現實並予以克服。所以說，數學家是「解決問題的人」。然而，煩惱著尚未出現在這世上的各種情形和問題，並設法找出解答的「製造問題的人」也是數學家。而這類「被製造的問題」儘管多半是經由理論並設定條件所提出的，確實也有不少解決了短則十年、長則幾百年後出現的困難。舉例來說，出現在13世紀前半的「費波納契數列」（費氏數列），不僅在大約700年後的某一天解說了自然現象，更被活用在電子通訊等尖端科技上。再舉一個更貼近生活的例子；

雖然現在幾乎銷聲匿跡，但過去曾有過直接登府拜訪消費者並販賣各種商品的推銷員。假設某化妝品推銷員要從公司前往消費者的家中拜訪並販賣商品，然後再回公司結算業績。

此時，因為推銷員要在不重複的前提下拜訪多戶人家，並不漏掉任何一戶地返回公司，所以必須找出既能拜訪所有消費者住處、交通花費又最少的最佳路線。若將數學應用於此，就能找出推銷員在訪問每個地點一次後，回到原起點、費用最少的移動順序。

上圖中，以線條表示連接公司和三處消費者住家的道路，並假設線上所標示的數字為兩地點間的交通費。那麼推銷員從公司出發後，第一個能去的地點有三處；第二個能去的地點有兩處，最後要去的住家只有一處；因此，推銷員從公司出發，拜訪完三戶人家後回公司的方法數共有3×2×1=3!=6種，再從6種方法中選出交通費最低的，就是最有利的移動法。推銷員實際可走的6種情況和其對應費用（距離）如下：

①公司→住家1→住家2→住家3→公司=100+200+200+400=900
②公司→住家1→住家3→住家2→公司=100+300+200+200=800
③公司→住家2→住家1→住家3→公司=200+200+300+400=1,100
④公司→住家2→住家3→住家1→公司=200+200+300+100=800
⑤公司→住家3→住家1→住家2→公司=400+300+200+200=1,100
⑥公司→住家3→住家2→住家1→公司=400+200+200+100=900 

各位若是推銷員的話，會選擇上方6條路徑中的哪一條呢？想必會選費用最少的②或④吧。

推銷員只需訪問三處住家的話，或許還能一一計算，但若是要訪問的住家變多的話，能走的路線數便會隨之增加。舉例來說，若有4家，可能的路線數就會是 4!=4×3×2×1=24種；若有5家則是5!=120種；那麼要是有10家，將要拜訪的路線數就足足有10!=3,628,800種。光是10家，要在一天內全數拜訪完畢，想一一用手計算、找出最有利的路徑簡直是天方夜譚。這個時候，就需要數學了。

我們可以把上述的例子稱為「旅行推銷員問題」，若以數學的圖論表示的話，會是：

．在各邊標有權重（weight）的完整圖形中，找出最小值的漢米爾頓迴路（Hamiltonian Circuit）。

在今日，旅行推銷員問題可活用在快遞送貨員要出發送貨前確認目的地，或是跑外勤的職員一早計畫移動路線。多數快遞員並不會根據送貨量用數學方式計算路線，但會在腦中想好一天內要以什麼路線送貨，再根據自己的想法一處一處去跑。雖然沒經過精算，所選的路線也不是最短最省時，但實際上仍在無意間使用了數學。

旅行推銷員問題比我們所想的更常被運用在日常生活中。例如，各位需要從家裡出發，再拜訪多處後返家時，就能套用旅行推銷員問題，以最快、最短路徑完成拜訪，然後返家休息。

若想搭乘公車旅行全國，也能利用這套方法將時間和費用壓至最低；另外，它也能被活用在地鐵、市公車路線、城市的瓦斯管線和水管等的規畫配置上。

若是把旅行推銷員的演算法套入使用黃金等稀有金屬的各種電子電路上，則能減少線路長度、用最少的貴金屬，進而節省材料費。

像這樣將日常的問題「用數學解決的想法」就是「數學思維」。數學即是將這類現實問題轉換為數學問題，再透過找出該數學問題的解決方法，使原本給定的現實問題能獲得解決；數學能提出要解決現實困難所需的最佳問題並加以解決。像這樣的所有過程都是數學思維，而擅長數學思維的人也就擅長數學。

不少人稱數學是和現實生活八竿子打不著的學問，更針對數學說：「只要會算錢就好，幹嘛要學那麼難的東西？」但實際上數學和我們的生活密不可分，而且從古至今累積的眾多數學理論和公式，確確實實一點一滴地改變我們的生活。市區商圈分析、能源效率優化、電子交易個資對策、股價和匯率、油價預測及人工智慧和大數據等，活用範圍無限廣。

畢達哥拉斯也主張「萬物皆數也」，對他來說，數學是必須學習的領域。他在培育弟子時也運用數學進行教學。畢達哥拉斯相信，「數能領悟永遠不朽的型態，並擁有領導靈魂的力量」。

越來越多公司開始擴大活用數學，不論是金融、能源或製造業，各個領域的公司都在找數學家。特別是進入第四次工業革命時代，在與AI機器人競爭下，人類能比它們做得更好的領域正是數學，也因為這樣才有不少學者宣稱「未來是數學戰爭的時代」。

要如何才能像數學家一樣思考並擅長數學呢？讓我們一同前往數學的世界探險吧！

09.像高斯一樣進行邏輯思考──思考的路線

很多人都認為數學是很難的科目。其實數學只要靠邏輯思考就能簡單得出答案，但覺得數學困難的人，多半真正討厭的是「邏輯思考」。若凡事不管三七二十一就喊難，那麼這世界上的一切就都無法獲得解決了。讓我們用一個簡單又富數學概念的例子來看看什麼是有邏輯的思考方法吧。 

若要將一塊正方體的豆腐切成27個大小和形狀皆相同的小正方體，請問「最少需要切幾刀？」
那要怎麼回答呢？
只要稍微想一想，就能輕易知道答案是6次。
但，要是問起「為什麼最少要6刀呢？」
這個問題就不再單純是有趣的謎題，而是數學問題了。

維持相同形狀與大小進行切割時，豆腐中央生成的正方體狀的小塊豆腐有6個面，但它的每1面和切割前正方體外壁的任何一側都不共面；即，中間小正方體的各個面都必須用刀切割才會生成。因此能切出小正方體6個面的下刀 次數正是6次。

讓我們來看一個關於邏輯思考方法的有趣小故事吧。

某座村莊裡住著一位貧窮的農夫，他有個相依為命的漂亮女兒。由於連年乾旱導致耕作收成慘澹，農夫為了生活，不得不向村裡的富人借款，好不容易撐過一年。沒想到，第二年情況並未改善，農作物仍然歉收，農夫只得再去找那位富人借錢，但富人卻因為前債未還而不肯再借。在農夫不斷拜託下，富人於是提議和他打賭，要是農夫贏了，債務就一筆勾消；相反的，要是農夫輸了，他的漂亮女兒就必須抵押給富人。走投無路下，農 夫只好跟富人對賭。富人提議的打賭內容如下：

「這裡各有一顆黑石頭和白石頭。把它們放進袋子裡，然後請你的女兒拿出一顆。要是你女兒拿出的是白石頭，那麼去年借的錢不僅不用還，我今年還可以再借你；但要是你女兒拿出的是黑石頭，你必須馬上還錢，而且，你美麗的女兒要送給我當僕人。」

這名心懷不軌的富人，趁農夫沒注意時，偷偷地把兩顆黑石頭放進袋子裡。但就算是這樣，農夫的女兒還是贏了賭注。她是怎麼辦到的呢？農夫聰明的女兒這麼說：

「要把手伸進袋子裡我會害怕，我就從外面選一個吧。」

農夫女兒從袋子外面抓住一顆石頭，然後快速地把袋口往下反轉，於是一顆黑石頭就從袋子裡掉了出來。農夫女兒見狀就說：「因為是黑石頭掉到地上，所以我選的肯定是白石頭囉。」

富人便因為農夫聰明女兒的機智回答，不僅拿不回前次借款，還要再多給一筆，實在是偷雞不著蝕把米。

數學就是這麼單純好懂。但因為我們從小就接受比起理解和邏輯思考，更強調記憶和熟背的填鴨式教育，導致任何問題都想透過「背公式」來解決。大部分覺得數學很難的人，正是因為使用了這種方法。若想學好數學，你需要培養邏輯思考的理解能力，而不是死記硬背。

為了培養數學的邏輯能力，就需要「思考的線路」，這是將理解單一部分的過程，連結至其餘部分以達到更進一步理解的過程。我們學習數學的眾多理由之一，正是為了擁有能找出相連結思路的智慧。

必須學數學的另一個理由，是為了培養「理性看待世界的能力」。被我們視為理所當然的世上所有事物，都藏有不變的某種規則。我們為了培養出能用邏輯或理論適當說明這些規則的能力而學習數學。當然，除了數學外的自然科學或人文、社會科學也能找出這類規則並做合理說明，但無法像數學一樣準確表示；因為其他領域多少含有一些主觀想法，但數學只承認誰也無法不認同、完全客觀的事實。

若無法好好理解世界上隱藏的規則，人類可能會毫無發展。從很久以前開始，只要有文明發展的地方，就有以數學思維觀察自然或現實生活的想法萌生；我們透過數學思考一步步理解世界的邏輯。而所謂的數學思考，指的是找出某個問題答案的邏輯過程。再舉個例子：

這是擁有「數學王子」暱稱，和阿基米德、牛頓同獲推崇為三大數學家中的德國數學家高斯10歲時發生的事。

高斯的老師為了偷閒，出了一道很難的數學問題給學生，即從1加到100。其他學生用1加2等於3，然後再加3等於6，然後再加4等於10……的方式計算了很久；但高斯卻不一樣，他很早就寫下5,050，然後雙手抱胸坐在位子上不動。在看到答案的瞬間，老師就察覺到高斯的天賦。高斯是如何快速解答的呢？

高斯發現老師提出的問題中藏有一定規則；換句話說，他並沒有和其他學生一樣從1開始按順序相加，而是發現了將1和最後的數字100相加後得101、2和99相加也得 101、3和98相加也是101……的事實。若照這樣加下去，共會有50個101，所以高斯得出1加到100的總和是 50 × 101 = 5,050這個非常簡單的正確答案。

高斯活用了用來推導求任意等差數列和公式時使用的 「等差數列的對稱性」，解決了這個問題。

高斯運用了有數學邏輯、合理的方式思考。尤其，在數學中很需要經過一一了解的過程，並將其連結至其餘部分以達到理解的思考線路。我們學數學的理由正是為了擁有能找出像這樣相連結的思路的智慧。

每個人都能用數學思維去思索世上的事，並找到思考的線路。現實生活中，因著需要而出現的數學，有如絲繩般將我們複雜的想法綁成一束的功用，並扮演著使生活能安立於有結構的框架中的角色。

因此，不單純是要學習數學，而是要透過用數學思維觀 察並解析事物的現象，來培養合理且有邏輯條理地解決現 實生活中各種問題的能力。

[講堂]
畢達哥拉斯的數學觀點 

畢達哥拉斯是第一個使用「哲學」（Philosophy）一詞的人，意思是愛智慧；同時，他也是第一個將自己稱為「哲學家」（Philosopher)的人。他稱哲學的目的在於「將思想從自己所設的界限中解放出來」，並使用以下奧林匹克運動會的比喻說明了真正的知識為何。在奧林匹克運動會有三種層次的人們聚集。最低層次的是在奧運期間做生意賺錢的人，他們只追求自己的利益；其次是作為選手參加奧運的人，他們炫耀自己的力量並汲於名譽；畢達哥拉斯認為層次最高的，是前去觀看奧運比賽的人，他們觀賞周邊風景和體育賽事，分析、討論及反思正在發生的事，並試圖理解自然和藝術之美。像這樣，在奧林匹克運動會有形形色色的人聚集，有些人追求榮華富貴，有些人追逐力量和權位，而最純潔、最真摯的是追求知識的人─畢達哥拉斯稱這樣的人為哲學家。畢達哥拉斯認為，在做哲學時最重要的是「數學觀點」。他將數學觀點分為四類，並做了以下的介紹。

「算數、音樂、幾何學以及天文學是智慧的基礎，順序 為1、2、3、4。」

根據畢達哥拉斯解釋：算數是學習數本身；音樂是從時間學習數；幾何是從空間學習數；天文學則是從時間和空間學習數。畢達哥拉斯以這樣的想法為基礎，製成了教授弟子用的教學課綱。教學課綱以算數為首，並發展至音樂、幾何 學、天文學、神學、醫學和政治學。同時，他也教授作為學習上述知識所需基礎的邏輯學、分析學，還有語源學。

在所有課程內容細項中，畢達哥拉斯只強調學習本身的重要性。他重視發展理智的努力，並針對比財富、權利、 名譽、美貌以及體力等更具價值的知識，論及了以下六項 優點。

第一、因哲學家所發現的真理是人類的共同財產，所以知識不僅能為個人帶來益處，也對社會有益。
第二、我們如果沒有知識，就無法享受其他美善事物的 益處。
第三、知識無論怎麼使用或和他人分享，都不會減少。
第四、平凡的人會因為出生環境和資質而難以靠近財富 或權利，但知識沒有限制。
第五、和即使細心照料，死後依然會腐爛的人類肉體不 同，知識會透過我們的人生綻放不滅的火花。
第六、知識使我們總能為他人服務。 

畢達哥拉斯主要使用具有隱藏含義的文句和需要複雜層次解釋的謎語，以象徵性的方式將知識傳授給弟子們。他的弟子為了理解如猜謎的教學內容做了很多努力，有時透過與他的問答和對話，有時則透過獨自進行對各種含義的冥想。